VETTORI E TENSORI

Moderatori: Martina, Giulia, Roberto, Adrian

VETTORI E TENSORI

Messaggioda eraclide2017 » 07/04/2018, 20:41

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VETTORI E TENSORI
Per rendere più accessibile il testo, a complemento di quanto già riportato nel testo, si riporta una breve introduzione ai vettori e tensori.
Per approfondimenti si rimanda a testi specialistici; per i vettori del piano complesso (numeri immaginari) sia con riferimento al piano cartesiano e polare si faccia riferimento a quanto riportato precedentemente in questo testo
VETTORE NEL PIANO
Un vettore è un ente geometrico definito dalla direzione, verso e il valore numerico detto modulo o norma o magnitudine o intensità o scalare. Può essere definito anche come un segmento orientato con verso definito o meglio come una serie di segmenti orientati equipollenti.
Lo spazio sui cui punti o infinitesimi agisce un vettore è detto CAMPO VETTORIALE.
In genere il Campo è funzione dello spazio e del tempo ed è determinabile tramite il calcolo della grandezza in esame (elettrica, magnetica, gravitazionale, ecc.)

A vettore B
direzione verso
modulo o norma


il vettore può essere libero nel piano o con origine negli assi cartesiani.
2 o y B
C
A φ
φ
O 1 o x
B vettore libero, C vettore con origine negli assi.
Gli assi sono indicati con 1 e 2 ma possono essere indicati con x e y (nel piano).
Nel seguito i vettori sono indicati in neretto, i moduli o scalari con caratteri normali.

Il vettore libero:
p = AB = (Xb - Xa) + (Yb - Ya) = Xba + Yba

cioè il vettore è composto da 2 vettori diretti verso X e Y.

L'arcotangente dell'angolo φ è pari a:
arctang φ = Yba/Xba

il modulo AB = √ (Xba² + Yba²)

è anche:

Xba = AB * cos φ
Yba = AB * sin φ


Il vettore C con origine O negli assi:

p = C = (Xc) + (Yc)
cioè il vettore è composto da 2 vettori diretti verso X e Y.

L'arcotangente dell'angolo φ è pari a:

arctang φ = Yc/Xc

il modulo AB = √ (Xc² + Yc²)

è anche:

Xc = C * cos φ

Yc = C * sin φ



Nota: gli assi di riferimento possono essere definiti come si vuole, in genere sono gli assi cartesiani; nel caso si lavori a cos φ costante si possono scegliere gli assi come di seguito:
asse 2 asse 1
vettore


in questo modo ogni variazione del vettore è una variazione in modulo o verso non di angolo (tipico l'esempio del fattore di potenza elettrico posto pari a 0,8, limite posto dalle compagnie elettriche al di sotto del quale si paga una penale per sfasamento eccessivo).

SOMMA DI VETTORI NEL PIANO
La somma di 2 vettori è pari all'applicazione di un vettore sull'estremità dell'altro, in pratica un vettore deve essere traslabile.
p'

p''
p p''

p'
La somma di 2 vettori è un vettore.

p = p' + p''

chiaramente vale anche:

p = p'' + p' (Pr. comm.)

La differenza sarà pari a:

p = p'' + (- p')

Se i vettori sono più di 2:

p = Σ (1 : i) pi



Nel caso i 2 vettori aventi origine nel punto O di due assi cartesiani:
y
p'' p p''

O p' x


px = p'x + p''x

py = p'y + p''y

p = px + py

p = √px² + py² = √((p'x + p''x)² + (p'y + p''y)²)

p * cos φ = p'x + p''x

p * sin φ = p'y + p''y

arctang φ = (p'y + p''y)/ (p'x + p''x)



PRODOTTO DI UN NUMERO REALE (SCALARE) PER UN VETTORE

Il prodotto di uno scalare* (un numero reale) per un vettore è un vettore.
Dato un vettore p e uno scalare k , il loro prodotto è pari a:

p' = k * p

se k > 0 il verso e direzione del vettore rimangono gli stessi, il modulo è:

p' = k * p

se
p = p' + p''
p' = k * (p' + p'') = k * p' + k * p''
p' = k * √(p'² + p''²)

se
k = u + w
p^k= (u + w) p


* scalare è il tempo, la massa, il volume,ecc.
la velocità l'accelerazione la forza il momento ecc. sono definiti da vettori

VERSORI NEL PIANO E SPAZIO
Introducendo dei vettori "unità" detti versori n1 e n2 di modulo unitario e verso degli assi 1 e 2

2
p

n2
p2


p1
n1 1

come definizione si ha:

n = p/p

e nel piano:

p1 = p1 * n1

p2 = p2 * n2

p = p1 * n1 + p2 * n2

dove p1 e p2 sono le componenti scalari del vettore sugli assi rispettivi 1 e 2, la formula di cui sopra è detta anche combinazione lineare dei versori.

Si ha anche:

p = Σ (1:2) (pi * ni)

Se p è parallelo a 1 (ortogonale a 2):
p = p1 * n1

Se p è parallelo a 2:
p = p2 * n2 (ortogonale a 1)

Esempio per spazio euclideo:

p = p1 * n1 + p2 * n2 + p3 * n3





Notiamo che le coordinate dei versori è:
n1 (1,0,0)
n2 (0,1,0)
n3 (0,0,1)
matrice scalari:

■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)

inoltre riferendoci sempre agli assi cartesiani (prodotti vettoriali):

n1² = n2² = n3² = 1
n1 * n2 = n2 * n3 = n2 * n3 = 0

Nota: i versori definiscono i versi degli assi cartesiani e sono posti sui suddetti assi.




CAMBIO DEI RIFERIMENTI VETTORIALI NEL PIANO
Su sviluppi dell'autore
Se si vuole riportare il vettore p ad un versore n (sfasato di φ rispetto a p) con gli stessi assi cartesiani 1 e 2:


2
p

n2
pn
φ n p2
α p'2
p1
n1 p'1 1
si ha:

pn = pn * n = (p * cos φ) * n = p'1 * n1 + p'2 * n2

dove:

p'1 = ((p * cos φ) * cos α) = pn * cos α
p'2 = ((p * cos φ) * sin α) = pn * sin α

pn = √ p'1 + p'2


Se invece si cambiano gli assi di riferimento (I e II) facendo ruotare gli assi 1 e 2 di un angolo φ:

2 II φ
p
φ

p2 pII
φ
α pI I
φ
p1 1

Calcolo riferito a φ:

Con riferimento alla figura si desume facilmente che:

p1 = pI * cos φ - pII * sin φ

p2 = pI * sin φ + pII * cos φ


Riferendo il calcolo all'angolo α fra p e l'asse 1:


pI = p * cos (α - φ)

pII = p * sin (α - φ)

siccome:

p1 = p * cos α

p2 = p * sin α

le nuove componenti del vettore p saranno:

pI = p1 * cos (α - φ)/ cos α = p1 * kI

pII = p2 * sin (α - φ)/ sin α = p2 * kII

viceversa il vettore p con componenti pI e pII è esprimibile negli assi 1 e 2 come:

p1 = pI * cos α / cos (α - φ)

p2 = pII * sin α / sin (α - φ)

Riprendendo il vettore p composto da pI e pII:

p = pI + pII = pI * nI + pII * nII

p = k1 * p1 * nI + k2 * p2 * nII

p = √ pI² + pII²



Conoscendo le componenti p1 cosφ e p2 cosφ (proiezioni di p1 sull'asse I e p2 sull'asse II, assi ruotati dell'angolo φ rispetto agli assi I e II), si può determinare il vettore p' sul piano I e II:



2 II
p
φ
n2 p'

p2
α
p1
n1 1
φ
I



p' = pI' * nI + pII' * nII =

= p1 cos φ * nI + p2 cos φ * nII

in modulo:

p' = cos φ * √(p1)² + (p2)²

p' = cos φ * p



TRASLAZIONE DEGLI ASSI SUL PIANO
Posto che l'origine degli assi 1 e 2 (O) trasli in O' assi 3 e 4 paralleli e concordi a 1 e2, si ha che:
siano
Δ1 valore della traslazione parallela rispetto all'asse 1
Δ2 valore della traslazione parallela rispetto all'asse 2
2 p3
p
n2 p4
p2

O p1 n1 1
Δ2
Δ1 3
valgono le formule rispetto agli assi 3 e 4:
p3 = Δ1 + p1
p4 = Δ2 + p2
p = p3 * n3 + p4 * n4
p = (Δ1 + p1) * n3 + (Δ2 + p2) * n4

rispetto agli assi 1 e 2 valgono le formule:
p1 = p3 - Δ1
p2 = p2 - Δ2
p = p1 * n1 + p4 * n2
p = (p3 - Δ1) * n1 + (p2 - Δ2) * n2

TRASLAZIONE E ROTAZIONE DEGLI ASSI NEL PIANO
In questo caso si ha:
p1 = Δ1 + pI cos φ - pII sin φ
p2 = Δ2 + pI sin φ + pII cos φ





TENSORI NEL PIANO
Alcune operazioni con i vettori e versori:

2
n2 p p"
p22
O p' p21 1
p11 p12 n1

Dati i 2 vettori p' e p" agenti in O si ha che il vettore p è:

p = p' + p"

Applicando i versori alla somma dei 2 vettori:

p = p1 + p2

p1 = (p11 + p12) * n1

p2 = (p21 + p 22) * n2

dove

p1 è la componente dei 2 vettori sull'asse 1

p2 è la componente dei 2 vettori sull'asse 2

p = (p11 + p12) * n1+ (p21 + p 22) * n2


p = √p1² + p2²

dove:

(p11 + p12) sono le componenti scalari dei 2 vettori secondo l'asse 1

(p21 + p22) sono le componenti scalari dei 2 vettori secondo l'asse 2

p = Σ(1:2) pi

in generale:

p = Σ(1:n) pi

per n 2 - 3 - 4 ecc.

in modulo

p = √p1² + p2²


Nota: se i vettori n sono 3 o 4 o ..... essi sono sempre riconducibili ai 2 versori secondo gli assi 1 e 2; es. n=3:

p = (p11 + p12 + p13) * n1+ (p21 + p 22+p23) * n2

Abbiamo presupposto che 2 vettori diano il vettore p, quindi si può scindere:

p1 = p11 p12 n1

p2 = p21 p 22 n2

dove:

p11 p12

p21 p 22

è la matrice (meglio il determinante) delle 2 equazioni, composta da 4 scalari, 2 righe, 2 colonne.

Nel caso di 3 vettori si avranno 2 righe 3 colonne.

■(p11&p12&p13@p21&p22&p23)

L'operatore matrice è detto TENSORE, cioè una metrica definita da una matrice a 2^p componenti di rango o ordine p (formula generale k^p, dove k è il numero di dimensioni, tipo il piano con 2 dim. spazio euclideo 3 dim. ecc.)

Possiamo scrivere anche:

p = Σ (1:2) pik ni

k 1 2
i 2 vettori sono dipendenti


Nel caso che il determinante della matrice sia = 0, allora i 2 vettori sono paralleli.
Nel caso che p12 = p21 la matrice è simmetrica.


Il tensore T di cui sopra è un operatore che se applicato alla matrice colonna dei versori:
n1
n2
da la matrice colonna dei vettori seguente:

p1
p2
Si tratta di 2 equazioni nel piano.

Il TENSORE in esame
T
è un tensore a 4 componenti, di rango (ordine) 1, in uno spazio a 2 dimensioni (piano).
Il tensore è una metrica definita nel piano dalla formula:
2^p (due righe) cioè 4 componenti e due versori.
In definitiva:
p1 n1
= T
p2 n2


Nota
Per il piano (k=2) si ha:

uno scalare ha ordine 0, 2^0=1, 1 componente, 1 numero p p

un vettore ha ordine 1, 2^1=2, 2 componenti *, 2 scalari p1 e p2 p1 p2 pi con i da 1:2

un tensore con ordine 2, 2^2=4, 4 componenti, 4 scalari, pij


p11 p12
p21 p 22

* (al di là di quanti siano i vettori)
il determinante di cui sopra è uguale a zero nel caso che i due vettori sono paralleli:

p11 p12
p21 p 22 = 0



TENSORI NELLO SPAZIO EUCLIDEO E NELLO SPAZIO A n DIMENSIONI
Alcune operazioni con i vettori e versori:
Dati i 3 vettori p' p" p''' applicati in O

3

p'''
p
p''
O 2
p'
1

si ha che il vettore p è:

p = p' + p'' + p'''

Applicando i versori alla somma dei 3 vettori

p = p1 + p2 + p3


3
p3

Ώ p
p2
φ 2
p1 p12
1




p1 = (p11 + p12 + p13) * n1

p2 = (p21 + p 22 + p23) * n2

p3 = (p31 + p 32 + p33) * n3

p = (p11 + p12 + p13) * n1+ (p21 + p 22 + p23) * n2 + (p31 + p 32 + p33) * n3


il modulo o norma:

p = √(p1² + p2² + p3²)

dove:

(p11 + p12 + p13) sono le componenti dei 3 vettori secondo l'asse 1

(p21 + p 22 + p23) sono le componenti dei 3 vettori secondo l'asse 2

(p31 + p 32 + p33) sono le componenti dei 3 vettori secondo l'asse 3

p = Σ(1:3) pi

in generale:

p = Σ(1:n) pi

per n 3 - 4 ecc.

Anche:

p = Σ (1:3) pik ni

k 1 2 3

Scindiamo in:

p1 = p11 p12 p13 n1
p2 = p21 p 22 p23 n2
p3 = p31 p 32 p33 n3

dove:

p11 p12 p13
p21 p 22 p23
p31 p 32 p33

è la matrice delle 3 equazioni.

Se p12 = p21 p13 = p31 p23= p32 la matrice è simmetrica

p11 u z
u p 22 v
z v p33







L'operatore matrice è detto TENSORE, cioè una metrica definita da una matrice a 3^p componenti di rango o ordine p (formula generale k^p, dove k è il numero di dimensioni, tipo il piano con 2 dim. spazio euclideo 3 dim. ecc.).


Riguardo agli angoli:
detto Ώ l'angolo fra l'asse 3 e p, detto φ l'angolo fra la proiezione di p sul piano 1 2 (p12) e l'asse 1



3
p3

Ώ p
p2
φ 2
p1 p12
1


si ha:
p3 = p * cos Ώ
p1 = p12 * cos φ
p2 = p12 * sin φ

si ha:

p1 = p * sin Ώ * cos φ
p2 = p * sin Ώ * sin φ

cos Ώ = p3/p

tang φ = p2/p1

Nel caso di 4 dimensioni il modulo è:

p = √(p1² + p2² + p3² + p4²)




Il tensore T di cui sopra è un operatore che se applicato alla matrice colonna
n1
n2
n3

da la matrice colonna seguente:

p1
p2
p3

Si tratta di 3 equazioni nello spazio
Il TENSORE in esame
T
è un tensore a 9 componenti, del II ordine (doppio) 3^n nel ns. caso 3^2 = 9, in uno spazio a 3 dimensioni
Il tensore è una metrica definita dalla formula:
3^p nello spazio euclideo (3 righe) cioè 9 componenti e 3 versori.
Nota
Per (k=3) si ha:

uno scalare ha ordine 0, 3^0=1, 1 componente, 1 numero p p

un vettore ha ordine 1, 3^1=3, 3 componenti *, 3 scalari p1 p2 p3 pi con i da 1:3

un tensore con ordine 2, 3^2=9, 9 componenti, 9 scalari, pij

un tensore con ordine 3, 3^3=27, 9 componenti, 27 scalari, pij

* (al di là di quanti siano i vettori)


In definitiva per spazio a 3 dimensioni:
p1 n1
p2 = T n2
p3 n3


Per K = 3 si ha un tensore con ordine 3, 3^3=27, 27 componenti, 27 scalari, pij

p11 p12 p14.................p1 27
p21 p 22 p23
p31 p 32 p33
...............................................
..............................................
p27 1 p27 27

La somma di 2 tensori:
T + T' = Tij + T' ij
Prodotto scalare tensore:
k * T = k * Tij



PRODOTTI SCALARI VETTORIALI MISTI

PRODOTTO MISTO
Un vettore di uno spazio a n dimensioni può essere moltiplicato per uno scalare, tale prodotto è detto prodotto misto.
Detto h lo scalare e p il vettore a n dimensioni si ha:
p' = h * p

In forma matriciale:
p1 a p1
p2 a p2
p3 * a = a p3
pn a pn

In definitiva per spazio a 3 dimensioni:
p1 n1
p2 = T * a * n2
p3 n3
p1 = p11 p12 p13 n1
p2 = p21 p 22 p23 * a * n2
p3 = p31 p 32 p33 n3

Il prodotto di uno scalare per un vettore comporta solo una modifica del modulo del vettore (se lo scalare è positivo), direzione e verso non variano:
p' = a * ( p1 + p2 + p3) per n = 3
p' = a * √ (p1² + p2² + p3²)

PRODOTTO SCALARE
Il prodotto scalare di 2 vettori è (si indica con x):
S = V' x V'' = V' * V'' * cos α
è uno scalare e alfa è l'angolo fra i 2 vettori.
Se i 2 vettori sono paralleli S = 0
se sono ortogonali S = V' * V''
nel caso che i vettori abbiano lo stesso modulo si ha:
V² * cos α
V² ( alfa uguale a zero)
Applicando il prodotto in esame agli assi cartesiani per n = 3 si ha:
S = V' x V'' = (V1' * V1'') * (V2' * V2'') * (V3' * V3'')
nel caso che i vettori abbiano lo stesso modulo si ha:
S = √ V1² + V2² + V3²


PRODOTTO VETTORIALE
Il prodotto di due vettori p'' e p' è un vettore e si indica con:
p'' ^ p'
Il modulo di p è:
p = p'' * p' * sin φ
dove φ è l'angolo fra p'' e p'

Il modulo risulta uguale all'area del parallelogramma tratteggiato in figura:
p

90° p''

p''

Il vettore p è ortogonale al piano tratteggiato.
La direzione di p è tale che deve vedere p'' ruotare verso p' in senso antiorario.

se i 2 vettori sono paralleli risulta che:
p'' ^ p' = 0
se i 2 vettori sono ortogonali risulta che:
p = p'' * p'
se ortogonali e uguali (k):
p = k²

Nota: la proprietà del prodotto vettoriale è anticommutativa in quanto
p'' ^ p' ǂ p' ^ p''
p'' ^ p' = - p' ^ p''

Il prodotto vettoriale di versori n1 n2 n3 é:
n1 ^ n1 = n2 ^ n2 = n3 ^ n3 = 0

n1 ^ n2 = n3
n1 ^ n3 = n2
n2 ^ n3 = n1

Sappiamo che il vettore p può esprimersi:
p = p1 * n1 + p2 * n2 + p3 * n3
Sappiamo che il vettore p può esprimersi:
p' = p'1 * n1 + p'2 * n2 + p'3 * n3
Dopo vari semplici sviluppi:

n1 n2 n3
p ^ p' = p1 p2 p3
p'1 p'2 p'3

Il modulo è:
p1 p2 ² p2 p3 ² p1 p3 ²
√ p1' p2' + p2' p3' + p1' p3'


PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE
Il prodotto misto è un prodotto costituito da un prodotto scalare e un prodotto vettoriale.
v1 x v2 ^ v3
ma deve svilupparsi nel seguente modo:
v1 x (v2 ^ v3)
il prodotto misto è uno scalare.

v11 v12 v13
v1 x (v2 ^ v3) = v21 v22 v23
v31 v32 v33

sappiamo che v2 ^ v3 da un vettore Z ortogonale al piano, per cui la rappresentazione del prodotto misto è:
Z



v1 v2

v3
Il volume del parallelepipedo rappresenta il modulo del prodotto misto.


IL CAMPO VETTORIALE DEI QUATERNIONI
I quaternioni furono sviluppati dal matematico Hamilton nel secolo XIX.
Hamilton cercava (come numerosi altri fisici matematici) un numero complesso di tipo generalizzato in modo da soddisfare lo spazio 3 d.
Introdotti i j k che sono l'equivalente del numero immaginario già definito in questo libro, j = √-1 ma nel caso dei quaternioni sono indipendenti l'uno dall'altro.
Per i quaternioni valgono le equazioni di Hamilton:
1) i² = j² = k² = i² = i j k = -1
2) q = a * i + b * j + c * k + d
l'equazione 2) definisce il quaternione che è definito dalla somma dei prodotti di numeri diversi moltiplicati per gli operatori immaginari i j k, il tutto sommato al numero d.
Hamilton però scoprì che i quaternioni non rispondono alla proprietà commutativa della moltiplicazione, infatti trovò 3 relazioni per cui è:
i * j = - j * i
j * k = - k * j
k * i = - i * k
Con riferimento a questo libro ci interessa capire che cosa rappresentano i quaternioni dal punto di vista fisico.
Per far ciò bisogna avviare un procedimento matematico in modo da individuare il reale significato di quaternione.
IL QUATERNIONE E' UNO SPAZIO VETTORIALE SUI NUMERI REALI.
Introduciamo i 2 vettori p e p':
p + p' = p' + p
Introducendo un terzo vettore p''':
(p + p') + p''' = p + (p' + p'')
Introdotti 2 numeri reali l e m possiamo scrivere:
(l + m) * p' = l * p' + m * p'
l (p + p') = l * p + l * p'
l * (m * p) = (l * m) * p
1 * p = p.
Lo spazio vettoriale 4 - d è formato dai quaternioni.
Le quattro componenti indipendenti di tale spazio 4 - d sono:
1 i j k

In realtà i quaternioni, nonostante gli sforzi di Hamilton, non hanno dato i risultati sperati.

TRASFORMAZIONI LINEARI
Approfondiamo il tema di trasformazione lineare già accennata per i campi vettoriali e tensori.
La simmetria di uno spazio vettoriale si esprime mediante le trasformazioni lineari che conservano la struttura di spazio vettoriale.
In generale ed in maniera concisa per vettori 3 - d si ha:
■(p=&T&n)
Detti x y z gli assi di riferimento e rinominati come coordinate di un punto:
x^(1 ) x^(2 ) x^(3 )
o in maniera concisa (convenzione di Einstein):
x^(k ) = C_h^k x^(h )
per h o k 1 2 3 4 ...
dove i C_h^k sono i componenti della matrice di trasformazione.
La matrice può essere calcolata tramite il suo determinante.
La matrice può essere quadrata o rettangolare.
Nel caso di metrica 4 - d ( e - d spazio 1 - d tempo) la matrice è una matrice 4 x 4, per spazio 3 - d è una matrice 3 x 3.
Ritornando ai componenti C si ha (esempio k = 3 e h =4):

■(x^(1 )@x^(2 )@x^(3 ) ) = (■(C_1^1&C_2^1⋯C_3^1&C_4^1@C_1^2⋮&C_2^2⋱C_3^2&⋮C_4^2@C_1^3&C_2^3⋯〖 C〗_3^3&C_4^3 )) ■(〖 x〗^(1 )@〖 x〗^(2 )@ x^(3 ) )
Ritornando ai componenti C si ha (esempio k = 3 e h =3):

■(x^(1 )@x^(2 )@x^(3 ) ) = (■(C_1^1&C_2^1⋯C_3^1&@C_1^2⋮&C_2^2⋱C_3^2&⋮@C_1^3&C_2^3⋯〖 C〗_3^3&)) ■(〖 x〗^(1 )@〖 x〗^(2 )@ 〖 x〗^(3 ) )
La trasformazione (lineare) trasforma la matrice colonna del II termine nella matrice colonna del I termine.
La trasformazione è una matrice T composta dai componenti.
Una matrice quadrata con determinante nullo viene detta singolare.

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