Stabilità dei sistemi hamiltoniani

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Stabilità dei sistemi hamiltoniani

Messaggioda casoroccia47 » 27/01/2015, 15:41

Mi piacerebbe tentare di spiegare una delle teorie fisico-matematiche che mi piacciono di più, ovvero quella della stabilità dei sistemi hamiltoniani sotto l'effetto di piccole perturbazioni. Questo argomento ha una storia antica (risale agli studi di Poincaré agli inizi del '900), ed ha avuto alterne vicende durante il XX secolo. Che io sappia, non è stata ancora data una risposta definitiva al problema.
L'importanza dell'argomento sta nel fatto che tutti i sistemi fisici, a livello fondamentale, sono hamiltoniani (quindi l'energia si conserva e l'evoluzione delle variabili è descritta dalle equazioni di Hamilton). Gli effetti non-ideali (dissipazione, viscosità) sono riconducibili ad effetti macroscopici o statistici (entropia).
Le proprietà dinamiche/geometriche di tali sistemi sono davvero tante, quindi per approfondimenti matematici vi lascio i link seguenti:
http://adams.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node40.html
http://www.mat.uniroma3.it/users/betta/ ... _06_07.pdf
Quello che mi importa dire è che ben pochi sistemi fisici si possono risolvere esattamente, ovvero le loro equazioni sono integrabili. La maggior parte dei sistemi esistenti sono perturbazioni di sistemi integrabili, che possono essere studiati per mezzo della teoria delle perturbazioni canoniche (spiegata nell'ultimo capitolo del documento sopra).
Nel corso dei decenni i fisici-matematici si sono interrogati su quali fossero le condizioni perché i sistemi fossero stabili rispetto alle perturbazioni, e negli anni '50/'60 Kolmogorov, Arnold e Moser sono riusciti a formulare il celeberrimo teorema KAM:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... nold-Moser
In poche parole, secondo il teorema solo le perturbazioni risonanti con i moti fondamentali del sistema risultano deleterie per esso, in quanto provocano la distruzione di certe strutture, che hanno la forma di tori, nello spazio delle fasi del sistema. Invece le perturbazioni non risonanti provocano solamente una deformazione di queste strutture, e quindi le orbite del sistema rimangono "integre".
Inoltre la rottura di questi tori risonanti è la causa dell'insorgere del chaos nei sistemi hamiltoniani.
ImmagineImmagineImmagineImmagine
Queste immagini mostrano la distruzione delle strutture nello spazio delle fasi di un sistema molto didattico, la cosiddetta "standard map", all'aumentare della forza della perturbazione.

Mi piacerebbe tanto che i fisici cominciassero a rivalutare l'importanza dello studio dei sistemi hamiltoniani classici, visto che sono importanti in campi così diversi come la meccanica celeste, la fisica del plasma, nella fisica degli acceleratori di particelle etc.
"Rationem vero harum Gravitatis proprietatum ex Phænomenis nondum potui deducere, & Hypotheses non fingo" "In verità non sono riuscito a scoprire la causa della gravità dai fenomeni, e non avanzo ipotesi."
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Re: Stabilità dei sistemi hamiltoniani

Messaggioda Feus9000 » 02/02/2015, 17:04

Ciao, bellissimo argomento la stabilità sia dei sistemi hamiltoniani che lagrangiani. A cosa ti riferisci con:
casoroccia47 ha scritto:Che io sappia, non è stata ancora data una risposta definitiva al problema.
quale problema?
Che io sappia, in genere si usa la formulazione lagrangiana in teoria dei campi perché più comoda (mai capito il perché...)
Per non parlare poi del fatto che, a livello terra terra, alcune soluzioni dei sistemi dinamici sono pura arte IMHO.
Ci scusiamo per il disturbo
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Re: Stabilità dei sistemi hamiltoniani

Messaggioda casoroccia47 » 03/02/2015, 13:49

Mi riferisco al problema di stabilire delle condizioni perché i sistemi hamiltoniani siano stabili sotto piccole perturbazioni. A proposito c'è il teorema di Nekhoroshev, secondo cui, sotto opportune condizioni, il sistema è stabile per tempi abbastanza lunghi http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=BUMI ... _4B_1_71_0.
Non sono un esperto di meccanica celeste, però credo che la stabilità del sistema solare sia ancora da dimostrare.
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